Mathématiques des origamis

Les pliages d'origamis sont utilisés en mathématiques pour procéder à des constructions géométriques. Selon les méthodes de pliages utilisées, on obtient des procédés plus riches que ceux propres à la règle et au compas.


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Les pliages d'origamis sont utilisés en mathématiques pour procéder à des constructions géométriques. Selon les méthodes de pliages utilisées, on obtient des procédés plus riches que ceux propres à la règle et au compas.

Formalisation des origamis

Le formalisme auquel il est le plus fréquemment fait référence est celui de Huzita. Il contient 6 axiomes qui sont en fait les 6 pliages de base servant à décomposer n'importe quel origami. En voici la liste :

pli passant par deux points
pli amenant un point sur un autre
pli amenant une droite sur une autre
pli formant la perpendiculaire à une droite et passant par un point
pli amenant un point sur une droite et passant par un autre point
pli amenant deux points sur deux droites

Les axiomes 1 à 4 ont toujours au moins une construction envisageable, unique pour les axiomes 1, 2 et 4. Les axiomes 5 et 6 peuvent n'en avoir aucune, une ou plusieurs selon la disposition des points et des droites. Ces deux derniers axiomes expriment que, quand il y a au moins une solution, alors elle peut être obtenue par origami.

Points, droites et nombres constructibles par origami

On se donne deux points de base. A partir de ces deux points, on définit récursivement les points et les lignes constructibles par origami de la façon suivante :

On nomme nombre constructible par origami un nombre égal à la distance de deux points constructibles, les deux points de base étant à une distance unité.

On peut alors interpréter les axiomes 1) à 4) de la façon suivante :

Les nombres constructibles au moyen de ces quatre axiomes sont précisément les mêmes que ceux qu'on peut construire avec la règle et le compas à pointes sèches. Il s'agit par exemple de \sqrt{5} ou \sqrt{2 + \sqrt{2}} mais ni de \sqrt[3]{2} ni de \sqrt{1 + \sqrt{2}}. Voici par exemple la construction du symétrique d'un point P comparé à une droite (L).

Construction du symétrique d'un point par rapport à une droite par origami

On construit la perpendiculaire à (L) passant par P puis la perpendiculaire à cette perpendiculaire passant par P (c'est à dire, la parallèle à (L) passant par P). On construit les deux bissectrices en P à la parallèle à (L) et la perpendiculaire à (L). Ces deux bissectrices vont couper (L) en deux points d'où on trace deux nouvelles perpendiculaires à (L). Deux dernières bissectrices vont se couper en le symétrique à P cherché.

Les nombes constructibles au moyen des cinq premiers axiomes sont précisément les mêmes que les nombres contructible à la règle et au compas.

L'axiome 6 sert à résoudre les équations du troisième degré et du quatrième degré à cœfficients constructibles. Il permet par exemple de trisecter un angle, de dupliquer le cube ou de construire l'heptagone régulier, choses qu'on ne peut faire à la règle et au compas. La totalité des nombres constructibles avec six axiomes est le plus petit corps contenant les rationnels et stable par les opérations de calcul de racine carrée et de racine cubique.

Voici par exemple la construction de \sqrt[3]{2}.

Construction de raine cubique de 2 par origame

On considère un carré ABCD qu'on plie en trois. On effectue un troisième pli de façon que A soit amené sur R et E sur S. Alors CR/BR est égal à \sqrt[3]{2}.

Origami et pliage fractal

Notons a la hauteur OA et b la largeur OO'd'un rectangle (O, A, A', O') . Soit B le point de [O, A] tel que OB soit égal à b. Procédons de même pour construire B' sur le segment [O', A'].

diagramme de découpage d'une feuille

(O, B, B', O') est un carré. On reporte B' en C sur [A, A']. On note C' son vis-à-vis sur [B, B'] pour y former le carré (A', C, C', B') .

Il reste le rectangle (C, A, B, C')  ; quelles sont ses propriétés ? Voici les longueurs de quelques segments de cette figure :

Notons r le rapport de la longueur sur la largeur du rectangle (C, A, B, C') . On obtient :

r={b-(a-b) \over a-b} si [A, C] est plus long que [A, B]

ou

r={a-b \over b-(a-b)} si [A, B] est plus long que [A, C]

Exprimons r selon le rapport de [O, A] sur [O, B] (que on note α)  : \alpha = {a\over b}. On obtient respectivement :

r={2-\alpha \over \alpha -1}

ou

r={\alpha -1 \over 2-\alpha}

Une valeur de r est spécifiquement intéressante, r = α, ce qui veut dire que les proportions du rectangle restant après avoir retiré les deux carrés successifs (en premier lieu (B, O, O', B') puis (B', C', C, A') ), sont les mêmes que celles du rectangle original.

Il y a deux solutions envisageables :

  \alpha = {2-\alpha \over \alpha -1}

ou

  \alpha = {\alpha -1 \over 2-\alpha}

qui donne respectivement

\alpha = \sqrt{2}

ou

\alpha = {1 + \sqrt{5} \over 2}


Une série de boites réalisées à partir d'une seule feuille A4. A part la première, elles sont toutes en deux exemplaires

Le premier cas correspond aux proportions des feuilles An (par exemple A4, les feuilles rectangulaires standard)  :

Format Largeur Hauteur
An 2 − 1 / 4 − n / 2 21 / 4 − n / 2

Le second cas fait apparaître le nombre d'or.

Si on itère le procédé, ces deux formats de feuilles permettent de réaliser des origamis fractales, car dans le rectangle restant, aux mêmes proportions que le premier, il est toujours envisageable de retirer deux carrés, puis de recommencer, théoriquement jusque l'infini.

pilage fractal pilage fractal

Voir aussi

Bibliographie

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